filozofia obiectuala

Anexa X.2 - EXEMPLE DE DISTRIBUŢII SISTEMICE

 

X.2.1 Distribuţii cu suport numere īntregi

Unele din cele mai utilizate distribuţii sunt cele al căror suport este format din intervale ordonate şi continue ale mulţimii numerelor īntregi {Z} sau naturale {N}. Vom lua ca exemplu o distribuţie de tip funcţie, de forma:

                                                                                                                             (X.2.1.1)

 

pentru a putea avea distribuţii derivate nenule şi neuniforme de ordinul II. Reamintim cititorului că īn notaţia specifică acestei lucrări pentru calculul cu diferenţe finite (unde se foloseşte notaţia cu semnul ordinului inversat pentru a nu se confunda cu un exponent), diferenţa finită posterioară (pe care o mai putem numi la dreapta) dintre elementul posterior yk+1 şi elementul referinţă locală īn şir yk este:

                                                                                                       (X.2.1.2)

 

iar diferenţa finită anterioară (sau la stānga faţă de acelaşi element referinţă yk) este:

                                                                                                       (X.2.1.3)

 

la fel şi pentru  sau , iar:

 

                                                               (X.2.1.4)

 

respectiv:

                                                                      (X.2.1.5)

 

ş.a.m.d.

Īn Tabelul 1 observăm că īn primele patru coloane avem distribuţia primară , unde , īn coloanele 5, 6, 7 şi 8 distribuţia derivată de ordinul I a distribuţiei primare, iar īn coloanele următoare, distribuţiile derivate de ordin superior (II şi III). Dacă pentru acest tip de distribuţii discontinue nu se poate vorbi de o derivată īn sens algebric, īn schimb putem utiliza fără restricţii termenul mai general (introdus de filosofia obiectuală) de densitate a distribuţiilor, termen valabil şi īn cazul algebric (dar cu respectarea unor condiţii obligatorii, vezi anexa X.3). Din tabel mai putem observa că cele două şiruri de obiecte suport (şirul valorilor singulare pentru distribuţia primară şi cel al variaţiilor elementare pentru distribuţiile derivate) nu au acelaşi număr de elemente (valorile index k, m1, m2, m3), dar ambele tipuri de şiruri se folosesc de aceeaşi valoare xk pe post de referinţă locală pentru evaluarea diferenţelor finite posterioare sau anterioare (echivalentul variaţiilor la dreapta sau la stānga īn cazul calculului diferenţial).

De asemenea, se observă că intervalele suport elementare Dx sunt toate de aceeaşi mărime iar diferenţele finite (de orice ordin) dintre aceste intervale nu există, ca urmare toate elementele distribuţiilor derivate, indiferent de ordinul lor, vor avea acelaşi suport, Dx. Pentru distribuţia derivată de ordinul I, densitatea posterioară (singura calculată īn Tabelul 1) faţă de acelaşi element referinţă xk menţionat mai sus, va fi:

                                                                                                            (X.2.1.6)

 

unde dat fiind faptul că Dx este acelaşi indiferent de valoarea lui k, nu s-a mai scris Dxk.

Īn cazul concret al distribuţiei primare date de relaţia X.2.1.1, īnlocuind valorile date de X.2.1.2 şi X.2.1.6 vom obţine:

 

                                                    (X.2.1.7)

 

relaţie ce verifică perfect valorile din tabel.

Tabelul 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

1

 

 

 

 

 

 

2

1

1

1

 

 

 

 

1

6

6

 

 

 

 

 

 

 

2

1

7

7

 

 

 

1

6

6

3

2

8

4

 

 

 

 

2

12

12

 

 

 

 

 

 

 

3

1

19

19

 

 

 

2

6

6

4

3

27

9

 

 

 

 

3

18

18

 

 

 

 

 

 

 

4

1

37

37

 

 

 

3

6

6

5

4

64

16

 

 

 

 

4

24

24

 

 

 

 

 

 

 

5

1

61

61

 

 

 

4

6

6

6

5

125

25

 

 

 

 

5

30

30

 

 

 

 

 

 

 

6

1

91

91

 

 

 

5

6

6

7

6

216

36

 

 

 

 

6

36

36

 

 

 

 

 

 

 

7

1

127

127

 

 

 

 

 

 

8

7

343

49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Valorile yk sunt (aşa cum am arătat īn cap. 4) obiecte din clasa procesuală S0 iar valorile obiecte din clasa procesuală S1. Dacă diferenţa dintre două stări succesive S0 distribuită (atribuită) pe un interval elementar suport  este un element al distribuţiei derivate de ord. I, diferenţa dintre două stări succesive S1 distribuită pe acelaşi interval  va fi elementul distribuţiei derivate de ordinul II, a cărei densitate este:

                          (X.2.1.8)

 

 

Īnlocuind şi īn acest caz valorile concrete date de relaţiile X.2.1.1, X.2.1.2 şi X.2.1.6 īn X.2.1.8 vom obţine īn final:

                                                (X.2.1.9)

 

care iarăşi verifică perfect valorile din Tabelul 1.

Acest exemplu de distribuţie concretă cu suport format din numere īntregi a avut drept scop evidenţierea clară a corectitudinii relaţiilor generale X.2.1.6 şi X.2.1.8, de asemenea a relaţiilor concrete X.2.1.7 şi X.2.1.9, relaţii exacte şi valabile pentru orice mărime  a intervalului suport elementar. Cei ce vor dori să neglijeze īn anumite cazuri termenii care conţin pe (conform calculului diferenţial clasic) este dreptul lor, vor obţine īnsă un rezultat aproximat, cu eroarea proporţională cu mărimea . Mărimile şi sunt echivalentul derivatelor locale (dreapta) de ordinul I, respectiv II, din calculul diferenţial clasic.

 

Copyright © 2006-2008 Aurel Rusu. All rights reserved.