X.23.1 Clase de variabile

Aşa cum am văzut în cap. 2, o variabilă x reprezintă o proprietate calitativă ce poate avea mai multe valori concrete posibile (numerice, literale sau de altă natură), numite şi valori singulare. Totalitatea acestor valori posibile formează o mulţime. Dacă valorile sunt aranjate într-un şir ordonat (după valoarea numerică sau după altă relaţie de ordine) vom avea o mulţime ordonată. Mulţimea ordonată a valorilor unei variabile poate fi reprezentată de un obiect abstract de forma:

                                                                                                  (X.23.1.1)

unde x_k  este valoarea singulară simbolică (sintactică) ataşată containerului abstract individual (elementar, cu frontierele reprezentate de virgule) cu numărul de ordine k, ce face parte din containerul global cu frontierele {}, iar mărimea:

                                                                                                               (X.23.1.2)

reprezintă (numai pentru valori numerice) intervalul de valori al variabilei.

în relaţia X.23.1.1, x reprezintă un obiect abstract de tip clasă de ordinul m de valori numerice (unde m reprezintă nivelul de abstractizare al unei astfel de clase). Cum valorile numerice pot fi de mai multe tipuri (fracţionare, întregi, naturale, imaginare, prime, reale, complexe etc.), fiecare din aceşti identificatori (atribute specifice) desemnează o clasă particulară, o instanţă cu ordinul de abstractizare m-p a clasei x. Aici p este numărul întreg de atribute specifice asociat clasei x pentru a obţine o clasă particulară (o instanţă de ordinul m-p) a acesteia.

Comentariul X.23.1.1: De subliniat legătura dintre termenul instanţă şi atributul particular. în cazul unei clase de valori numerice, să spunem de numere naturale, o instanţă a acestei clase este un număr natural oarecare (o valoare singulară, particulară). Dar tot un obiect particular (adică o instanţă) este şi clasa numerelor naturale {N}, ca una din subclasele posibile ale mulţimii {R}.

Cea mai generală clasă de valori numerice este {R}, aşa numita mulţime a numerelor reale. Prin adăugarea la modelul {R} a unei anumite proprietăţi specifice, se obţine o subclasă a acesteia, care este tot o mulţime de valori numerice, dar care valori au în comun proprietatea specifică. Dacă schimbăm o proprietate de model din modelul {R} valabilă pentru toate elementele mulţimii, se obţine o clasă echipotentă cu {R}. De exemplu clasa numerelor imaginare{I} se obţine din {R} prin inversarea artificială a convenţiei de atribuire a semnului pentru rezultatul operaţiei de înmulţire (vezi anexa X.3.1). Se obţine astfel o clasă de valori numerice echipotentă cu {R}, dar care nu mai are în comun cu {R} decât referinţa internă absolută (valoarea zero), este aşadar o mulţime total disjunctă şi independentă faţă de {R}, motiv pentru care reprezentarea sa geometrică este o axă perpendiculară pe axa numerelor reale.

Dacă proprietatea este specifică doar unei porţiuni din {R} (o partiţie), atunci se va obţine o submulţime a acesteia. De exemplu clasa {Q} (clasa numerelor raţionale) are ca proprietate specifică faptul că elementele clasei sunt rezultatul unui raport (ratio)  (unde m şi n sunt numere întregi).

Comentariul X.23.1.2: O altă menţiune importantă este aceea că o proprietate specifică a unei clase de obiecte este o proprietate de model, comună tuturor obiectelor clasei, şi care proprietate permite departajarea (diferenţierea) claselor între ele. într-o mulţime de clase de obiecte (de noţiuni), atributele specifice de model permit departajarea claselor (noţiunilor) între ele. în exemplele de mai sus, proprietăţile ce permit departajarea claselor de variabile între ele sunt evident proprietăţi specifice de model.

O instanţă a uneia din aceste clase de valori numerice este o valoare singulară din mulţimea de valori posibile indicate în partea dreaptă a relaţiei X.23.1.1, adică o valoare numerică concretă. în cazul mulţimilor ordonate, atributul specific unui anumit element este numărul de ordine al containerului individual. Acest număr de ordine, cu toate că este un număr, este un atribut calitativ ce desemnează poziţia elementului de mulţime în ansamblul mulţimii (este un atribut de structură).

Am văzut în cap. 2 că o distribuţie este o mulţime de relaţii de atribuire dintre valorile concrete a două clase de variabile: variabila independentă x şi variabila dependentă y, relaţii de forma:

                                                                                                             (X.23.1.3)

sau:

                                                                                                                (X.23.1.4)

Relaţiile X.23.1.3 sau X.23.1.4 reprezintă procese generatoare abstracte dintre valorile concrete  şi valorile concrete , procese care, în cazul cel mai general, sunt specifice fiecărei valori, adică fiecare relaţie de atribuire are o altă valoare sintactică concretă  sau . Dacă toate procesele generatoare concrete dintre obiectele clasei y şi obiectele clasei x au o componentă comună, adică aceeaşi valoare sintactică f (acelaşi simbol, aceeaşi structură, independente de valoarea concretă ), atunci putem scrie . Aşadar funcţiile continue algebrice sunt procese generatoare abstracte invariante dintre două clase de variabile, iar domeniul de valori al variabilei suport pe care se menţine invarianţa valorii sintactice este domeniul de continuitate al funcţiei.