filozofia obiectuala

X.3.2.2 Derivata clasică a unei funcţii continue

Una din cele mai concise expuneri ale conceptului de derivată conform calculului diferenţial clasic o găsim īn Manualul Inginerului[1].

Definiţia derivatei. Fie y=f(x) o funcţie continuă īntr-un interval (a, b) şi un punct x0 īn interiorul lui. Prin definiţie se numeşte derivata funcţiei īn x0 limita către care tinde raportul dintre creşterea funcţiei şi creşterea variabilei cānd aceasta din urmă tinde către zero. Vom nota cu:

                                           (X.3.2.2.1)

 

Dacă această limită există, vom spune că funcţia f(x) este derivabilă īn x0. Dacă facem graficul funcţiei f(x), derivata īntr-un punct al ei reprezintă coeficientul unghiular al tangentei la curbă. Se poate īntāmpla ca limita acestui raport să aibă īntr-un punct două valori, după cum  tinde spre zero prin valori pozitive sau negative; vom spune că avem o derivată la stānga sau la dreapta.

Diferenţiale. Fie y=f(x) o funcţie derivabilă īntr-un interval (a, b) şi fie x o variabilă cuprinsă īn acest interval. Creşterea variabilei dx o vom numi diferenţiala variabilei. Prin definiţie vom numi diferenţiala funcţiei valoarea:

                                                                                                         (X.3.2.2.2)

 

Pentru a comenta definiţiile de mai sus avem īn fig. X.3.2.2.1 următoarele elemente:

-     curba f(x) pe care există un punct curent ;

 

-     tot pe curbă, mai avem alte două puncteşi, unde  iar;

-     tangenta la curba f(x) īn punctul P, pe care avem punctele  şi ;

 

Fig.  X.3.2.2.1

Observăm că punctele M, P şi N aparţin curbei f(x), īn timp ce punctele Q şi S nu, dar īn calculul diferenţialelor la stānga sau dreapta punctului P intervin tocmai valorile din Q şi S, cu toate că ele nu aparţin funcţiei (de exemplu diferenţiala la dreapta lui P este reprezentată conform definiţiei de segmentul RQ, īn timp ce variaţia reală este RN). Īn cazul īn care valorile funcţiei din M, P şi N sunt obţinute prin eşantionare, nici nu se poate vorbi de valorile din Q şi S, aceste valori fiind pur abstracte (generate prin calcul). Pe graficul din fig, X.3.2.2.1, linia ce uneşte două puncte de pe curbă, de exemplu PM este o secantă a curbei f(x). Această secantă are faţă de axa de referinţă (axa valorilor mărimii independente) X, o direcţie unghiulară  (evaluare la stānga referinţei , dată de relaţia:

                                                                  (X.3.2.2.3)

 

iar secanta PN are faţă de aceeaşi axă de referinţă direcţia unghiulară  (evaluare la dreapta referinţei ), dată de relaţia :

                                                                 (X.3.2.2.4)

 

ambele relaţii fiind valabile pentru orice interval finit şi nenul , dar după cum ne arată relaţia X.3.2.2.1, īn definirea derivatei clasice, la un moment dat acest interval devine nul (īn punctul P), acolo unde calculul diferenţial clasic defineşte derivata īn punctul P.

 



[1] *** - Manualul Inginerului - Editura Tehnică, Bucureşti, 1965.

Copyright © 2006-2008 Aurel Rusu. All rights reserved.