Anexa X.17 – ANALIZA OBIECTUALĂ A CâMPURILOR VECTORIALE

 

Aşa cum am văzut în cap. 4, un vector este o reprezentare literală sau grafică a unui proces elementar specific (PES), care înseamnă o variaţie elementară a unui singur atribut, distribuită pe o variaţie elementară a unui atribut suport, adică un element de distribuţie derivată a unei distribuţii primare. Variaţia are loc între două stări de tip S₀ (două elemente de distribuţie primară)[1], starea iniţială şi starea finală, stări ce constituie frontierele asimptotice ale obiectului vector, în acelaşi timp ele fiind şi referinţe interne ale acestuia.

Densitatea şi direcţia elementului de distribuţie derivată, invariante în intervalul suport elementar, sunt stări S_x (unde x este ordinul distribuţiei derivate) ale PES. Aşa cum am văzut în cap. 3, un obiect este caracterizat de un set format din şase proprietăţi fundamentale ce formează modelul general de obiect:

P1   Setul proprietăţilor distribuite;

P2   Tipul atributului suport;

P3   Tipul de distribuţie;

P4   Mărimea domeniului suport;

P5   Sistemul de referinţă intern;

P6   Existenţa simultană a tuturor acestor proprietăţi, la acelaşi moment de timp t.

în cazul vectorilor, aceştia fiind PES, setul proprietăţilor distribuite cuprinde doar o singură proprietate (atributul variabil). Tipul atributului suport, în majoritatea cazurilor este atributul temporal, dar poate fi şi de alt tip, cum ar fi cel spaţial (în cazul gradientului de exemplu), frecvenţial (în cazul proceselor fonetice sau muzicale de exemplu) etc. în cazul vectorilor, tipul de distribuţie este mereu aceeaşi, distribuţia liniară. Mărimea domeniului suport este şi ea mereu aceeaşi, domeniul pe care se menţine liniaritatea distribuţiei. Sistemul de referinţă (SR) intern este format din cele două stări S_x de care vorbeam mai sus, ce constituie reperele între care are loc PES (frontierele asimptotice ale domeniului intern), iar aceste stări sunt definite faţă de un sistem de referinţă extern (sistemul de referinţă faţă de care este evaluată referinţa internă a distribuţiei primare).

Pentru cazul concret al vectorilor viteză, setul proprietăţilor fundamentale este:

P1   Variaţia poziţiei spaţiale;

P2   Atributul temporal;

P3   Distribuţie liniară;

P4   Intervalul  pe care densitatea (viteza) se menţine uniformă;

P5   Starea (poziţia) iniţială sau starea finală între care are loc variaţia de poziţie;

P6   Momentul t_f al stării finale, referinţa internă dreapta a intervalului temporal  ce constituie suportul PES (pentru PES abstracte, se poate utiliza şi referinţa internă stânga t_i).

Toate obiectele abstracte care au acelaşi model formează o clasă de obiecte. Atunci când avem o mulţime de obiecte din aceeaşi clasă, toate aceste obiecte vor avea un set de proprietăţi comune, tocmai setul ce formează modelul clasei. Pentru a fi decelabile, obiectele concrete ale aceleiaşi clase (instanţele) vor trebui să mai aibă, pe lângă atributele comune, şi atribute specifice, atribute între care să existe diferenţe nenule (contrast).

în cazul vectorilor (dar şi al altor obiecte), contrastul cantitativ se evaluează printr-o diferenţă dintre valorile unui atribut specific; dar noi am văzut că relaţiile dintre două sau mai multe obiecte sunt relaţii dintre sistemele lor interne de referinţă, sisteme evaluate faţă de un sistem de referinţă extern, comun pentru toţi vectorii mulţimii.

Sistemul de referinţă intern al unui vector k (unde k este numărul de ordine al vectorului din mulţimea ordonată a celor n vectori ce formează câmpul vectorial) este format din proprietăţile P5, din care referinţă poate fi ori starea finală S_0k(t_f), ori starea iniţială S_0k(t_i). în cazul câmpurilor de viteze, definite faţă de un SR extern, cele două stări (elemente ale unei distribuţii spaţiale primare) sunt poziţiile:

                                                                                                            (X.17.1)

şi:

                                                                                                          (X.17.2)

 

 Starea S_1k(t_f), viteza, este densitatea elementului de distribuţie derivată de ordinul I a distribuţiei spaţiale primare:

                                                                 (X.17.3)

 

Câmpul vitezelor este format aşadar din n vectori, existenţi simultan în intervalul  (interval cu referinţa internă dreapta la momentul t_f), cu poziţii spaţiale disjuncte, poziţii date de mulţimile  (mulţimea punctelor de aplicaţie) şi  (mulţimea vârfurilor vectorilor viteză). Dacă ţinem cont de faptul că viteza spaţială este o proprietate a unor SM, principiul excluziunii spaţio-temporale a SM postulează că atât mulţimea  cât şi  sunt seturi, deoarece poziţiile spaţiale ale mai multor SM la acelaşi moment t nu pot fi identice. Cu alte cuvinte, poziţiile spaţiale ale vectorilor din câmpul vitezelor sunt atribute specifice externe pentru aceste obiecte. Setul poziţiilor  este un obiect abstract compus, pentru care putem defini o referinţă internă naturală, referinţă ce va constitui o componentă comună (fiind o referinţă) pentru toate obiectele din set.

Referinţa internă naturală a unui set format din n valori  este media aritmetică a valorilor setului, dată de relaţia:

                                                                                                       (X.17.4)

 

astfel încât fiecare proprietate din mulţimea este formată din două componente:

 

                                                                                                  (X.17.5)

 

unde  este componenta comună a tuturor obiectelor la momentul t_i (referinţa naturală internă) iar  este proprietatea specifică naturală a obiectului k (abaterea, dispersia), la acelaşi moment (faţă de referinţa naturală internă).

Proprietăţile specifice naturale au proprietatea fundamentală de a avea referinţa naturală internă nulă (proprietăţile specifice nu au componentă comună). Vom avea aşadar:

                                                                                                           (X.17.6)

 

Obiectul abstract , dat de relaţia X.17.4 reprezintă poziţia globală (de ansamblu) a mulţimii obiectelor (a câmpului vectorial) la momentul t_i, faţă de referinţa de poziţie externă.

în mod similar vom avea la momentul t_f:

                                                                                                     (X.17.7)

 

Dacă , înseamnă că există o mişcare de ansamblu a mulţimii de obiecte cu viteza comună (globală):

                                                                                 (X.17.8)

 

care este şi ea o referinţă naturală a câmpului de viteze, faţă de care vor rezulta o mulţime de viteze specifice naturale. Toate acestea se obţin prin derivarea relaţiei X.17.5 în raport cu timpul, din care rezultă :

                                                                                                   (X.17.9)

 

Mişcarea globală poate fi şi ea variabilă în timp, aşadar va putea exista o acceleraţie globală , o variaţie globală a acceleraţiei ş.a.m.d. împortant pentru noi este faptul că toate mărimile globale, fiind referinţe naturale, sunt proprietăţi comune tuturor vectorilor din câmpul vectorial.