Anexa X.2 - EXEMPLE DE DISTRIBUŢII SISTEMICE

 

X.2.1 Distribuţii cu suport numere întregi

Unele din cele mai utilizate distribuţii sunt cele al căror suport este format din intervale ordonate şi continue ale mulţimii numerelor întregi {Z} sau naturale {N}. Vom lua ca exemplu o distribuţie de tip funcţie, de forma:

                                                                                                                             (X.2.1.1)

 

pentru a putea avea distribuţii derivate nenule şi neuniforme de ordinul II. Reamintim cititorului că în notaţia specifică acestei lucrări pentru calculul cu diferenţe finite (unde se foloseşte notaţia cu semnul ordinului inversat pentru a nu se confunda cu un exponent), diferenţa finită posterioară (pe care o mai putem numi la dreapta) dintre elementul posterior y_k+1 şi elementul referinţă locală în şir y_k este:

                                                                                                       (X.2.1.2)

 

iar diferenţa finită anterioară (sau la stânga faţă de acelaşi element referinţă y_k) este:

                                                                                                       (X.2.1.3)

 

la fel şi pentru  sau , iar:

 

                                                               (X.2.1.4)

 

respectiv:

                                                                      (X.2.1.5)

 

ş.a.m.d.

În Tabelul 1 observăm că în primele patru coloane avem distribuţia primară , unde , în coloanele 5, 6, 7 şi 8 distribuţia derivată de ordinul I a distribuţiei primare, iar în coloanele următoare, distribuţiile derivate de ordin superior (II şi III). Dacă pentru acest tip de distribuţii discontinue nu se poate vorbi de o derivată în sens algebric, în schimb putem utiliza fără restricţii termenul mai general (introdus de filosofia obiectuală) de densitate a distribuţiilor, termen valabil şi în cazul algebric (dar cu respectarea unor condiţii obligatorii, vezi anexa X.3). Din tabel mai putem observa că cele două şiruri de obiecte suport (şirul valorilor singulare pentru distribuţia primară şi cel al variaţiilor elementare pentru distribuţiile derivate) nu au acelaşi număr de elemente (valorile index k, m₁, m₂, m₃), dar ambele tipuri de şiruri se folosesc de aceeaşi valoare x_k pe post de referinţă locală pentru evaluarea diferenţelor finite posterioare sau anterioare (echivalentul variaţiilor la dreapta sau la stânga în cazul calculului diferenţial).

De asemenea, se observă că intervalele suport elementare Dx sunt toate de aceeaşi mărime iar diferenţele finite (de orice ordin) dintre aceste intervale nu există, ca urmare toate elementele distribuţiilor derivate, indiferent de ordinul lor, vor avea acelaşi suport, Dx. Pentru distribuţia derivată de ordinul I, densitatea posterioară (singura calculată în Tabelul 1) faţă de acelaşi element referinţă x_k menţionat mai sus, va fi:

                                                                                                            (X.2.1.6)

 

unde dat fiind faptul că Dx este acelaşi indiferent de valoarea lui k, nu s-a mai scris Dx_k.

În cazul concret al distribuţiei primare date de relaţia X.2.1.1, înlocuind valorile date de X.2.1.2 şi X.2.1.6 vom obţine:

 

                                                    (X.2.1.7)

 

relaţie ce verifică perfect valorile din tabel.

Tabelul 1

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
1	0	0
				1	1	1	1
2	1	1	1					1	6	6
				2	1	7	7				1	6	6
3	2	8	4					2	12	12
				3	1	19	19				2	6	6
4	3	27	9					3	18	18
				4	1	37	37				3	6	6
5	4	64	16					4	24	24
				5	1	61	61				4	6	6
6	5	125	25					5	30	30
				6	1	91	91				5	6	6
7	6	216	36					6	36	36
				7	1	127	127
8	7	343	49

 

Valorile y_k sunt (aşa cum am arătat în cap. 4) obiecte din clasa procesuală S₀ iar valorile obiecte din clasa procesuală S₁. Dacă diferenţa dintre două stări succesive S₀ distribuită (atribuită) pe un interval elementar suport  este un element al distribuţiei derivate de ord. I, diferenţa dintre două stări succesive S₁ distribuită pe acelaşi interval  va fi elementul distribuţiei derivate de ordinul II, a cărei densitate este:

                          (X.2.1.8)

 

 

Înlocuind şi în acest caz valorile concrete date de relaţiile X.2.1.1, X.2.1.2 şi X.2.1.6 în X.2.1.8 vom obţine în final:

                                                (X.2.1.9)

 

care iarăşi verifică perfect valorile din Tabelul 1.

Acest exemplu de distribuţie concretă cu suport format din numere întregi a avut drept scop evidenţierea clară a corectitudinii relaţiilor generale X.2.1.6 şi X.2.1.8, de asemenea a relaţiilor concrete X.2.1.7 şi X.2.1.9, relaţii exacte şi valabile pentru orice mărime  a intervalului suport elementar. Cei ce vor dori să neglijeze în anumite cazuri termenii care conţin pe (conform calculului diferenţial clasic) este dreptul lor, vor obţine însă un rezultat aproximat, cu eroarea proporţională cu mărimea . Mărimile şi sunt echivalentul derivatelor locale (dreapta) de ordinul I, respectiv II, din calculul diferenţial clasic.