Unele din cele mai utilizate distribuţii sunt cele al căror suport este format din intervale ordonate şi continue ale mulţimii numerelor întregi {Z} sau naturale {N}. Vom lua ca exemplu o distribuţie de tip funcţie, de forma:
(X.2.1.1)
pentru a putea avea distribuţii derivate nenule şi neuniforme de ordinul II. Reamintim cititorului că în notaţia specifică acestei lucrări pentru calculul cu diferenţe finite (unde se foloseşte notaţia cu semnul ordinului inversat pentru a nu se confunda cu un exponent), diferenţa finită posterioară (pe care o mai putem numi la dreapta) dintre elementul posterior yk+1 şi elementul referinţă locală în şir yk este:
(X.2.1.2)
iar diferenţa finită anterioară (sau la stânga faţă de acelaşi element referinţă yk) este:
(X.2.1.3)
la fel şi pentru sau
, iar:
(X.2.1.4)
respectiv:
(X.2.1.5)
ş.a.m.d.
în Tabelul 1 observăm că în primele patru coloane avem
distribuţia primară , unde
, în coloanele 5, 6, 7 şi 8 distribuţia
derivată de ordinul I a distribuţiei primare, iar în coloanele
următoare, distribuţiile derivate de ordin superior (II şi III).
Dacă pentru acest tip de distribuţii discontinue nu se poate vorbi de
o derivată în sens algebric, în schimb putem utiliza fără
restricţii termenul mai general (introdus de filosofia obiectuală) de densitate
a distribuţiilor, termen valabil şi în cazul algebric (dar cu
respectarea unor condiţii obligatorii, vezi anexa X.3). Din tabel mai
putem observa că cele două şiruri de obiecte suport (şirul
valorilor singulare pentru distribuţia primară şi cel al
variaţiilor elementare pentru distribuţiile derivate) nu au
acelaşi număr de elemente (valorile index k, m1, m2, m3), dar ambele tipuri de şiruri se folosesc de
aceeaşi valoare xk pe
post de referinţă locală pentru evaluarea diferenţelor
finite posterioare sau anterioare (echivalentul variaţiilor la dreapta sau
la stânga în cazul calculului diferenţial).
De asemenea, se observă că intervalele suport elementare Dx sunt toate de aceeaşi mărime iar diferenţele finite (de orice ordin) dintre aceste intervale nu există, ca urmare toate elementele distribuţiilor derivate, indiferent de ordinul lor, vor avea acelaşi suport, Dx. Pentru distribuţia derivată de ordinul I, densitatea posterioară (singura calculată în Tabelul 1) faţă de acelaşi element referinţă xk menţionat mai sus, va fi:
(X.2.1.6)
unde dat fiind faptul că Dx este acelaşi indiferent de valoarea lui k, nu s-a mai scris Dxk.
în cazul concret al distribuţiei primare date de relaţia X.2.1.1, înlocuind valorile date de X.2.1.2 şi X.2.1.6 vom obţine:
(X.2.1.7)
relaţie ce verifică perfect valorile din tabel.
Tabelul 1
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
7 |
7 |
|
|
|
1 |
6 |
6 |
3 |
2 |
8 |
4 |
|
|
|
|
2 |
12 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
19 |
19 |
|
|
|
2 |
6 |
6 |
4 |
3 |
27 |
9 |
|
|
|
|
3 |
18 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
37 |
37 |
|
|
|
3 |
6 |
6 |
5 |
4 |
64 |
16 |
|
|
|
|
4 |
24 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
61 |
61 |
|
|
|
4 |
6 |
6 |
6 |
5 |
125 |
25 |
|
|
|
|
5 |
30 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
1 |
91 |
91 |
|
|
|
5 |
6 |
6 |
7 |
6 |
216 |
36 |
|
|
|
|
6 |
36 |
36 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
1 |
127 |
127 |
|
|
|
|
|
|
8 |
7 |
343 |
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Valorile yk sunt (aşa cum am
arătat în cap. 4) obiecte din clasa procesuală S0 iar valorile obiecte din clasa procesuală S1. Dacă diferenţa dintre două stări
succesive S0
distribuită (atribuită) pe un interval elementar suport
este un element al
distribuţiei derivate de ord. I, diferenţa dintre două
stări succesive S1
distribuită pe acelaşi interval
va fi elementul
distribuţiei derivate de ordinul II, a cărei densitate este:
(X.2.1.8)
înlocuind şi în acest caz valorile concrete date de relaţiile X.2.1.1, X.2.1.2 şi X.2.1.6 în X.2.1.8 vom obţine în final:
(X.2.1.9)
care iarăşi verifică perfect valorile din Tabelul 1.
Acest exemplu de distribuţie concretă cu suport
format din numere întregi a avut drept scop evidenţierea clară a
corectitudinii relaţiilor generale X.2.1.6 şi X.2.1.8, de asemenea a
relaţiilor concrete X.2.1.7 şi X.2.1.9, relaţii exacte
şi valabile pentru orice mărime a intervalului
suport elementar. Cei ce vor dori să neglijeze în anumite cazuri
termenii care conţin pe
(conform calculului diferenţial clasic) este dreptul
lor, vor obţine însă un rezultat aproximat, cu eroarea
proporţională cu mărimea
. Mărimile
şi
sunt echivalentul derivatelor locale (dreapta) de ordinul I,
respectiv II, din calculul diferenţial clasic.
Copyright © 2006-2008 Aurel Rusu. All rights reserved.