5.2.1 Modelul virtual de flux

Să presupunem că mărimea (proprietatea) de transportat M, scalară, se prezintă la un moment dat sub forma unei distribuţii spaţiale continue 3D inclusă în volumul V, cu o poziţe dată faţă de un sistem de coordonate. Reamintim cititorului că o distribuţie spaţială a unei mărimi se mai numeşte în matematică şi câmp; în funcţie de mărimea distribuită (scalară sau vectorială), vom putea avea un câmp scalar, respectiv vectorial.

în cazul nostru, câmpul scalar al mărimii M este descris de o distribuţie spaţială primară, în care fiecărui element de volum dV aflat la coordonatele x,y,z îi corespunde mărimea scalară:

                                                                                      (5.2.1.1)

unde  este densitatea volumică a distribuţiei continue şi uniforme a mărimii M, pe elementul de volum dV ce tinde spre zero şi "înconjoară" un punct cu vectorul de poziţie . După cum se vede din relaţia de mai sus, deocamdată distribuţia este statică, coordonatele spaţiale ale distribuţiei nefiind dependente de timp. în aceste condiţii statice, cantitatea[1] totală de mărime M din volumul V formează stocul acestei mărimi (vezi definiţia stocului din cap. 2).

Dacă distribuţia se mişcă, poziţia fiecărui element de distribuţie va deveni variabilă. Spuneam în introducerea la acest capitol că procesul de mişcare a unui obiect are ca atribut existenţial intensitatea mişcării, atribut mai cunoscut sub numele de modulul vitezei, viteză care este dată în viziunea clasică[2] de relaţia:

                                                                                         (5.2.1.2)

 

Mişcarea unei distribuţii continue este reprezentată aşadar prin ataşarea (asocierea) la fiecare valoare distribuită (mai exact la fiecare element al distribuţiei primare spaţiale), a unui vector reprezentând intensitatea şi direcţia mişcării. Dar în fiecare punct (virtual, adică adimensional al distribuţiei) există mărimea  ce se mişcă odată cu acesta, deci vom avea în final o altă mărime ce reprezintă procesul de transport al atributului M într-un anumit punct.

 

                               

                                          (5.2.1.3)

 

Comentariul 5.2.1.1: în abordarea virtuală (bazată pe puncte adimensionale) a fluxului, din cauza infinităţii numărului acestor puncte în orice interval spaţial, apare o absurditate privind valoarea mărimii distribuite pe fiecare element suport de distribuţie primară – o valoare singulară din {R}, adică o VAE. Dacă un interval suport oricât de mic conţine o infinitate de valori singulare, concluzia logică este că o cantitate finită de atribut distribuit, divizată la un număr infinit de valori singulare conduce la o valoare nulă a atributului asociat cu fiecare valoare singulară. Dar cum poate o asemenea valoare nulă, prin însumare (integrare), să ducă la un rezultat diferit de zero? Această absurditate dispare în abordarea obiectuală realizabilă, unde suportul oricărei distribuţii conţine un număr finit de valori singulare normale.

 

Această nouă mărime - VDF - caracterizează local mişcarea unei distribuţii spaţiale. Se poate observa că prin ataşarea la fiecare element al distribuţiei primare din volumul V (ocupat de distribuţia iniţial scalară M) a unui vector ce reprezintă viteza de transport, câmpul scalar devine un câmp vectorial, mărimea distribuită fiind de această dată VDF al mărimii M.

După clasificarea vectorilor făcută în cap 4, VDF este un vector purtător, el transportând mărimea  ataşată punctului său de aplicaţie, de la punctul iniţial până la punctul final al liniei de flux (pe care o vom defini puţin mai încolo). Modulul acestui vector reprezintă densitatea superficială locală (vezi anexa X.15) a procesului de transport, atributul existenţial al obiectului abstract flux într-un punct virtual din spaţiu.

în abordarea virtuală (dar şi în cea realizabilă) există două modalităţi de tratare a acestui câmp vectorial variabil atât în timp cât şi în spaţiu, ce constituie reprezentarea unui flux:

1)      Analiza mişcării unui singur obiect (în cazul nostru a unui singur element de volum al distribuţiei scalare) pe un interval temporal al existenţei fluxului;

2)      Analiza distribuţiei spaţiale a ansamblului obiectelor câmpului vectorial (adică a mulţimii VDF) la un moment dat, ulterior iniţierii fluxului.

Prima metodă, numită şi metoda Lagrange, ne furnizează o distribuţie temporală a poziţiei spaţiale a unui singur obiect participant la flux, distribuţie ce în termeni curenţi se numeşte traiectorie. Această traiectorie a unui vector purtător este în viziunea clasică o curbă continuă în spaţiu, la care respectivul vector rămâne permanent tangent, şi care se numeşte linie de flux (sau de curent).

A doua metodă, numită şi metoda Euler, ne oferă un instantaneu la momentul t_k, a distribuţiei spaţiale totale sau pe porţiuni a ansamblului de obiecte aflate în mişcare. Acest instantaneu este o stare globală a fluxului, la momentul t_k, un câmp vectorial imobil în spaţiul 2D sau 3D. Dacă intersectăm acest câmp vectorial cu o suprafaţă tot imobilă  cu o ecuaţie (relaţie de distribuţie) şi o arie cunoscută (suprafaţă de referinţă), vom obţine distribuţia superficială a VDF a fluxului în studiu la momentul t_k , pe suprafaţa .

 

 

Fie elementele locale ale acestei distribuţii: vectorul de poziţie  al unui punct situat pe , "înconjurat" de un element de suprafaţă ,  normala pe  în punctul respectiv şi , VDF în acelaşi punct (dat de relaţia 5.2.1.3). Pentru a simplifica relaţiile, nu vom mai specifica coordonatele spaţiale ştiind că aceste coordonate, pentru punctele de pe , formează o distribuţie invariantă. în teoria câmpurilor vectoriale există relaţia (vezi anexa X.8):

                               (5.2.1.4)

 

care defineşte fluxul vectorului  prin suprafaţa . în această variantă de interpretare, fluxul este un scalar şi reprezintă cantitatea din mărimea M ce traversează suprafaţa  în intervalul temporal dt.

Atenţie ! Această definiţie a fluxului nu este valabilă în filosofia obiectuală, pe parcursul acestei lucrări fiind valabilă definiţia 5.2.1 care stabileşte că fluxul este un proces distribuit, adică un câmp vectorial şi nu un scalar. în schimb, relaţia 5.2.1.4 este valabilă şi în această lucrare, dar ea defineşte intensitatea globală a fluxului prin suprafaţa .

 

Comentariul 5.2.1.2: Aşa cum se explică şi în anexa X.3, faţă de varianta matemarică a definiţiei fluxului unui vector, în această lucrare nu se poate concepe noţiunea de flux dacă nu există o mărime de transportat. în varianta matematică, vectorul al cărui flux se calculează poate fi un vector liber oarecare, de exemplu viteza ; în varianta obiectuală, dacă vectorului nu îi ataşăm o mărime scalară de transportat ( în cazul de mai sus) noţiunea de flux nu mai are sens. în varianta obiectuală, vectorul  al cărui flux se calculează este întotdeauna un vector purtător.

 

în condiţiile precizate mai sus, dacă intersecţia volumului dV cu suprafaţa de calcul  este , ştiind că distribuţia vectorială internă este uniformă, rezultă un flux elementar, o distribuţie vectorială uniformă a VDF, cu arie efectivă . Distribuţia vectorială este uniformă în situaţia în care atât modulul cât şi direcţia vectorilor sunt invariante (câmp cu vectori paraleli şi de acelaşi modul).